Qu'est-ce que integration par partie ?

L'intégration par parties est une technique d'intégration qui permet de calculer l'intégrale d'un produit de deux fonctions. Elle est basée sur la règle de Leibniz pour la dérivation d'un produit.

La formule générale de l'intégration par parties est :

∫ u dv = uv - ∫ v du

Où :

• u et v sont des fonctions différentiables de x.
• du est la différentielle de u (du = u' dx).
• dv est la différentielle de v (dv = v' dx).

Comment choisir u et dv ?

Le choix de u et dv est crucial pour simplifier l'intégrale. Une bonne règle mnémotechnique est l'acronyme LIATE, qui suggère l'ordre de priorité pour choisir u :

• Logarithmes (ex: ln(x))
• Inverses trigonométriques (ex: arctan(x))
• Algébriques (ex: x, x², x³)
• Trigonométriques (ex: sin(x), cos(x))
• Exponentielles (ex: eˣ)

Cela signifie que si vous avez un logarithme et un polynôme dans votre intégrale, vous devriez choisir le logarithme comme u. Le reste de l'expression est dv.

Étapes pour utiliser l'intégration par parties:

1. Identifier u et dv: Choisissez u et dv en utilisant LIATE comme guide.
2. Calculer du et v: Dérivez u pour trouver du et intégrez dv pour trouver v.
3. Appliquer la formule: Substituez u, v, du et dv dans la formule ∫ u dv = uv - ∫ v du.
4. Simplifier et intégrer: Simplifiez l'intégrale ∫ v du et évaluez-la. Si nécessaire, vous pouvez avoir besoin d'appliquer l'intégration par parties plusieurs fois.

Exemples :

• ∫ x cos(x) dx
• ∫ ln(x) dx
• ∫ x² eˣ dx

Points importants:

• Le choix approprié de u et dv peut simplifier grandement l'intégrale.
• Il peut être nécessaire d'appliquer l'intégration par parties plusieurs fois pour résoudre une intégrale.
• Parfois, l'intégration par parties peut conduire à une équation que l'on peut résoudre pour trouver l'intégrale recherchée.

Voici des liens vers des notions importantes :

• Intégration
• Dérivation
• Formule%20d'intégration%20par%20parties